Paradojas de Zenón de Elea

Zenón de Elea 
(490-425 a.C.)

Filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea "Italia meridional ", a quien le enseño Parménides ( quien era uno de los filósofos mas importantes de la época).

Zenón  trataba de demostrar que los movimientos eran un engaño o algo ilusorio y que la realidad es una invariable y esto lo hacia a través de las paradojas (proposición de apariencia verdadera que lleva a una contradicción lógica).

Aquiles y la Tortuga

En este argumento Zenón dice que el mas rápidos de los hombres en ese entonces Aquiles, no podía alcanzar al más lento de los animales; La Tortuga, si a esta se le da una ventaja inicial en la carrera. Ya que cuando Aquiles recorriera una parte del camino la tortuga aun con la ventaja habrá recorrido una porción mas del camino así manteniendo su ventaja. Aunque Aquiles aya recorrido la ultima parte del camino la tortuga habrá avanzado otra parte por muy pequeña que sea; hasta en espacios relativamente pequeños la tortuga llevará la ventaja y es así que Aquiles no podrá nunca alcanzar la Tortuga.


En esta paradoja no se da una distancia en que la tortuga tiene por ventaja, podemos comprobar la falsedad de tal argumento. Si decimos que la carrera de ellos es en un camino que tiene 150 metros y que Aquiles corre a una velocidad de 10 m/s y la tortuga a una de 5m/s y la ventaja inicial que tiene la tortuga es de 50 metros.
Cuando Aquiles aya recorrido en 5 segundos 50 metros la tortuga abra avanzado en 5 segundos 25 metros ahí podemos ver una ventaja pero al recorrer Aquiles 50 metros más, la tortuga abra recorrido 25 metros. y es ahí donde Aquiles habrá alcanzado a la tortuga a los 100 metros. Demostrando que al avanzar Aquiles 10 metros la tortuga solo habrá avanzado 5 metros por lo tanto ALCANZÓ y SUPERÓ a la tortuga.

La Dicotomía

Zenón está a 8 metros de un árbol. En un momento dado lanza una piedra quien trata de dar al árbol. La Piedra para llegar al objetivo, tiene que recorrer primero la mitad de la distancia que separa a Zenón del árbol, es decir 4 metros el cual tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

La paradoja puede ser resuelta matemáticamente usando series infinitas. Esta puede ser resuelta tomando cualquier valor numérico ya que son sumas con términos variantes. Estas pueden ser convergentes (pueden llevar números finitos) o divergentes (estas no).

Para sumar todos los números desde 1 a infinito:

Para sumar todos los números al cuadrado desde 1 a infinito:

Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito:

La serie que se plantea es una serie geométrica, por lo que su suma puede ser calculada con la siguiente fórmula:

Suma = 

En la sumatoria de la paradoja de Zenón, «a» es 1/2 y «r» es la razón de incremento (producto), que es 1/2 . Sustituyendo esos valores en la fórmula de suma se tiene:

Suma = 

con esto concluimos que la mitad de la distancia más la mitad de la distancia y así sucesivamente da la suma de un numero entero (en este caso).

La Flecha

Se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible.

Bueno si ponemos atención en lo que dice; la Flecha se está moviendo, pero si lo observamos a cada segundo que pasa pareciera que está en reposo aunque este avanzando pues su movimiento es muy lento. Pero al haber transcurrido cierto tiempo la flecha habrá avanzado una distancia aun que sigamos observando que esta en reposo, porque estamos observando su moviendo por cada segundo que pasa y su velocidad es tan lenta que no se ve el movimiento. Por eso podemos concluir que la flecha habrá transcurrió una distancia en determinado tiempo aunque pareciese que esta en reposo.

El Estadio

Dos filas de igual numero de soldados (Y Y Y Y y Z Z Z Z) parten de los extremos de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por X X X X) a la misma velocidad. Se paran cuando estén alineados. El primer soldado Y recorre un espacio igual a dos X, pero, en el mismo tiempo, el primer soldado Z recorre cuatro soldados Y.  Dado que los tamaños de X, Y y Z son iguales, se concluye que la velocidad de los soldados Z es doble que la de los soldados Y, y habíamos dicho que la velocidad era la misma.

Integrantes del Equipo: 5° Grado Grupo "A"

Ricardo Alejandro Sánchez Velueta

Ali Yamil Rangel Martinez

 Yazmin del Carmen Marin Reyes

 Gloria Margarita Hernandez Betancourt

 Jose Eduardo Gonzalez Solis